Рассмотрим еще один распространенный способ комплексного представления действительных колебаний. Построим аналитический сигнал
у которого
т. е. вещественная часть равна исходному действительному сигналу, а спектр содержит только положительные частоты. Нетрудно видеть, что
где
Учитывая, что
из имеем
Свёртка
по определению есть преобразование Гильберта функции 
Таким образом, аналитический сигнал со спектром будет
где 
определяется из , т. е.
Из этого выражения вытекает ещё одна связь между спектрами:
из которой следует обратное преобразование Гильберта:
