где 
означает сложение по модулю 2. Системы Уолша
и Уолша–Пэли получаются одна из другой путем перестановки функций внутри блоков с номерами
Первые восемь функций этих систем изображены на рис. 1.6.4. Для некоторых
сигналов ряд Фурье по системе Уолша–Пэли сходится быстрее, чем по системе Уолша.
а) б)
Рис. 1.6.4. Первые восемь функций Уолша:
а – в нумерации Уолша; б – в нумерации Пэли
Функции Уолша ортонормальны на интервале 
Система
Уолша является мультипликативной. Однако при перемножении двух функций сдвиг по
индексу не арифметический, а диадный, определяемый через поразрядное сложение по
модулю 
Ещё одна разновидность функций Уолша 
связана с нумерацией по
Адамару. Переход от нумерации Пэли к нумерации по Адамару осуществляется путём разрядной
инверсии в двоичном представлении номера 
(младшие разряды зеркально меняются местами
со старшими). Взаимосвязь различных нумераций показана в таблице 1.6.1.