Из и имеем
Умножение 
на 
означает перенос спектра вправо
на величину 
При достаточной узкополосности сигнал 
будет иметь односторонний
спектр с положительными частотами и может рассматриваться как аналитический. Поэтому
сопряжённый по Гильберту сигнал
Сравнивая выражения для 
и 
видим, что преобразование Гильберта
выполняется над 
и 
а квадратурные
компоненты 
и 
остаются неизменными.
Ядро преобразования Гильберта является нечётной функцией аргумента 
относительно точки 
Следовательно, сигнал, сопряжённый к
константе, тождественно равен нулю:
