Обобщенный ряд Фурье в пространстве 
с ортогональным базисом
принимает вид
где
Пример 1.3.1. В качестве базисной системы в
рассмотрим дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ) (см. п.
1.7):
В этой формуле 
и 
принимают целочисленные значения,
т. е. число функций в системе равно числу отсчетов каждой функции.
Вследствие этого, а также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной в
пространстве 
Функции (ДЭФ) ортогональны:
Поэтому ряд Фурье по этой системе
где коэффициенты Фурье
Соотношения и определяют
пару дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое будет рассмотрено в главе 3.
Отличительной особенностью ДПФ является то, что сигнал и его спектр определяются на
конечных и равных интервалах 
Последовательности 
и
– периодические (с периодом
) функции дискретного аргумента. Это
объясняется N-периодичностью базисных функций ДПФ по обоим аргументам.
При этом меняется привычное понятие сдвига, а именно: сдвиг сигнала и его спектра на
интервале понимается как циклическая перестановка отсчетов (часть сигнала или его
спектра, выходящая за пределы интервала с одного конца, вставляется в этот интервал с
другого конца). При циклическом сдвиге значения индексов k и n отсчитываются
по модулю