Рис а д ельтафункция б функция

Рис. 1.8.9. а – дельта-функция, б – функция единичного скачка

Рассмотрим три импульса (рис. 1.8.10), cхожие тем, что площади их равны единице.

Рис. 1.8.10. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию,

при стремлении их длительности к нулю

Введём предельные соотношения:

Каждая из приведённых аппроксимирующих функций (импульсов) является простым и физически наглядным прототипом дельта-функции. Однако следует отметить, что дельта-функция не является ни функцией в классическом смысле, ни импульсом, а является обобщенной функцией.

Известно так называемое фильтрующее свойство дельта-функции, заключающееся в том, что её свёртка с любой ограниченной и непрерывной в точке  функцией  равна

 

Если функция в точке  имеет разрыв  (первого рода), то

  

где – значения  справа и слева от точки разрыва.

Доказательство получается, если под знак интеграла подставить вместо любую аппроксимирующую её функцию (рис. 1.8.10), а затем перейти к пределу.

Если – действительная величина, то выполняются следующие равенства:

  

                                                    

На основании находим, что

                           

назад          далее