Теорема об изменении масштаба

Теорема об изменении масштаба. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к растяжению (сжатию) вейвлет образа:

Дифференцирование:

где

Из этого свойства следует, что проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала  можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это  свойство особенно полезно когда сигнал задан дискретным рядом.

Частотно-временная локализация ВП

Это свойство обусловлено тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном. Есть прямая связь между временным и частотным представлением вейвлетов. Так малые значения параметра а, характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) – низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр b) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов (звуковых сигналов, сигналов изображения и т.д.) за счёт свойства локальности вейвлет-преобразование получает преимущество перед преобразованием Фурье, которое даёт только глобальные сведения о частотах анализируемого сигнала. Это объясняется тем, что ПФ использует базисную систему гармонических функций, которая определена на бесконечном интервале.