Умножим обе части этого

Умножим обе части этого выражения на  и заменим переменную интегрирования  Тогда два последних выражения приобретают вид

   

 

Это есть пара одностороннего преобразования Лапласа, которое символически будем обозначать следующим образом:

Функция  называется оригиналом, а функция  – изображением. Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, в котором достаточно положить . Обратное преобразование осуществляется путём интегрирования  в комплексной плоскости  вдоль вертикальной прямой  (рис. 1.10.1).Путь интегрирования должен проходить правее полюсов

                 Рис. 1.10.1                                                             Рис.1.10.2

подынтегральной функции Образуем замкнутый контур интегрирования добавлением к прямой  дуги бесконечно большого радиуса так, чтобы этот контур охватывал все полюсы подынтегральной функции (рис. 1.10.2). Тогда интеграл превращается в контурный и в соответствии с теоремой Коши о вычетах может быть определен следующим образом:

               

Правая часть этого выражения равна сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции.Важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура интегрирования.

Пример 1.10.1. Пусть  где  – фиксированное комплексное число. Наличие функции включения  обусловливает равенство  при  Согласно

назад          далее