Важная особенность дискретных представлений вида (1.4.1) состоит в том, что от них просто перейти к приближенным конечным представлениям, необходимым для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. В связи с этим возникает ряд математических и практических вопросов. К числу математических вопросов относятся следующие.
1) Практически можно использовать только конечное число коэффициентов 
Как
следует выбирать эти коэффициенты, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку
2) Желательно, чтобы 
Когда это имеет место?
Для ответа на первый вопрос достаточно продифференцировать
по некоторому конкретному Если
коэффициенты 
комплексные, производная
берется по действительной и мнимой частям. Приравняв производную нулю и решая
относительно 
получим, что коэффициенты
должны быть
Коэффициенты выбираемые по
алгоритму , называются коэффициентами Фурье по системе
Таким образом, из всех полиномов N-го порядка вида
(1.4.5) наименьшее среднеквадратическое отклонение от данного сигнала 
имеет N-я частичная сумма ряда Фурье по системе Это
следует из того, что вторая производная является положительной
постоянной величиной, и коэффициенты, определяемые из ,
обеспечивают абсолютный минимум ошибки 